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老李头的博客

活到老 学到老 永远做学生,祝大家天天快乐

 
 
 

日志

 
 
关于我

五十年代出生在农村,六十年代读过书吃过糠,七十年代当过兵扛过枪,八十年代后长期在有色企业从使安全保卫工作。我虽然吃了很多苦,,遭了不少罪,但我不抱怨,也不后悔,我家经济虽不富裕,但家庭和睦幸福笶声满屋,我鼓励全家,珍惜今天来之不易的幸福生活。我愿在网易博客这块园地里结识更多相同经历的朋友,让我们共同回顾所走过的路程,珍惜当下的晚年生活,快快乐乐的过好我们幸福的每一天 。三更灯火五更鸡,正是男儿发愤时。黑发不知勤学早,白首方悔读书迟。

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趣味数学:神奇的“缺8数  

2017-03-28 07:35:43|  分类: 学习课本 |  标签: |举报 |字号 订阅

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自然数12345679被称为“缺8数”。

清一色:12345679×9的倍数

  12345679×9=111111111

  12345679×18=222222222

  12345679×27=333333333

  12345679×36=444444444

    12345679×45=555555555

  12345679×54=666666666

  12345679×63=777777777

  12345679×72=888888888 

  12345679×81=999999999

三位一体:12345679×3的倍数

  12345679×12=148148148

  12345679×15=185185185

  12345679×33=407407407

  12345679×57=703703703

  12345679×78=962962962

轮流休息:当乘数不是9或3的倍数时,此时虽然没有清一色或三位一体的现象,但仍可以看到一种奇异性质:乘积的各位数字均无雷同,缺少1个数字,而且存在着明确的规律。另外,在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘数在区间10,17的情况(其中12和15因是3的倍数,予以排除)乘数在19,26及其他区间(区间长度等于7)的情况与此完全类似。乘积中缺什么数,就像工厂或商店中职工“轮休”,人人有份,既不多也不少,实在有趣。

  12345679×10=123456790(缺8)

  12345679×11=135802469(缺7)

  12345679×13=160493827(缺5)

  12345679×14=172839506(缺4)

  12345679×16=197530864(缺2)

  12345679×17=209876543(缺1)

一以贯之:当乘数超过81时,乘积将至少是十位数,但上述的各种现象依然存在,真是“吾道一以贯之”。例如:

    乘数为9的倍数  

    12345679×243=2999999997

  只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上,仍呈现“清一色”。

  乘数为3的倍数,但不是9的倍数

  12345679×84=1037037036

  只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上,又出现“三位一体”。

  乘数为3K+1或3K+2型

  12345679×98=1209876542

  表面上看来,乘积中出现雷同的2,但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后,所得数为209876543,是“缺1”数,仍是轮流休息。

走马灯:当缺8数乘以19时,其乘数将是234567901,像走马灯一样,原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如:

  12345679×19=234567901

  12345679×28=345679012

  12345679×37=456790123

  深入的研究显示,当乘数为一个公差等于9的算术级数时,出现“走马灯”的现象。例如:

  12345679×8=98765432

  12345679×17=209876543

  12345679×26=320987654

  12345679×35=432098765

回文结对,携手同行:缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣,人们偶然注意到:

  12345679×4=49382716

  12345679×5=61728395

  前一式的数颠倒过来读,正好就是后一式的积数。(虽有微小的差异,即5代以4,而根据“轮休学说”,这正是题中应有之义)

  这样的“回文结对,携手并进”现象,对13、14、22、23、31、32、40、41等各对乘数(每相邻两对乘数的对应公差均等于9)也应如此。例如:

  12345679×22=271604938

  12345679×23=283950617

  前一式的数颠倒过来读,正好是后一式的积数。(后一式的2移到后面,并5代以4)

追本求源:缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜,因为:

  1/81=0.012345679012345679012345679……,缺8数和1/81的循环节有关。

  在以上小数中,为什么别的数码都不缺,而唯独缺少8呢?

  我们看到,1/81=1/9×1/9,把1/9化成循环小数,其循环节只有一位,即1/9=0.111111111……

  1/9×1/9,即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看:

  很明显,11的平方=121,111的平方=12321,……,直到111111111的平方=12345678987654321。

  但现在是无穷个1的平方,长长的队伍看不到尽头,怎么办呢?

    利用数学归纳法,不难证明,在所有的层次,8都被一一跳过。

  那么,缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了,因为:

  1/81×9=1/9=0.111111111……

  缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解,因为:

  1/81×3=1/27=0.037037037……,一开始就出现了三位的循环节。

  缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1,自然就出现“走马灯”了。

  循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾,缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展,人们越来越不满足于泛泛的几条性质,而更着眼于探索其精微的结构。

八进制和十六进制的缺8数:  也许有人以为缺八数是10进制下的特有情况,但事实是,在8进制和16进制下也有类似的数字出现。

  8进制下的缺8数为:123457

  123457×7=1111111

  在8进制下,7的2倍不是14,而是16

  123457×16=2222222

  123457×25=3333333等等

  10进制中缺8数关于乘数3的性质是由关于乘数9的性质衍生而来的,在8进制中没有类似的性质。

  16进制中缺8数为:123456789abcdf

  123456789abcdf×f=111111111111111

  如前所述,缺8数的出现与循环小数有密切的联系。

  在任何一种进制中,1除以最大的个位数,得到的都是0.1111...无限循环的小数,缺8数的全部性质理论上应该都能由此推出。

  可以认为,缺8数的性质是由进制的规则决定的,是进制性质的反应。

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